축의 강도설계

1. 개요
   
   
   하중의 종류(정하중, 반복하중, 충격하중)에 따라 충분한 강도를 갖게 하고 키홈, 원주홈, 단달림 축에서의 응력집중 등을 고려하여 설계한다.
2. 정하중을 받는 축의 강도 설계
1. 굽힘 모멘트만 받는 경우(예: 차축)
1. 중실축
   
   
   \( Z=\cfrac { \cfrac { \pi { d^4 } }{ 64 }  }{ \cfrac { 1 }{ 2 } d } =\cfrac { 1 }{ 32 } \pi { d }^{ 3 }\quad \quad ,\quad \quad \sigma _{ b }=\cfrac { M }{ Z } =\cfrac { 32M }{ { \pi  }{ d^{ 3 } } } \\ \\ \therefore \quad d=\sqrt [ 3 ]{ \cfrac { 32M }{ { \pi \sigma  }^{ 3 } }  } \)
   
2. 중공축
   
   
   \( Z=\cfrac { \cfrac { \pi { ({ d_{ 0 } }^{ 4 } }-{ d_{ 1 } }^{ 4 }) }{ 64 }  }{ \cfrac { 1 }{ 2 } d_{ 0 } } =\cfrac { 1 }{ 32 } \pi { d_{ 0 } }^{ 3 }(1-x^{ 4 })\quad \quad ,\quad \quad \sigma _{ b }=\cfrac { M }{ Z } =\cfrac { 32M }{ { \pi  }{ d_{ 0 } }^{ 3 }(1-x^{ 4 }) } \\ \\ \therefore \quad d_0=\sqrt [ 3 ]{ \cfrac { 32M }{ { \pi \sigma_b(1-x^4)}}}  \)
   
2. 비틀림 모멘트만 받는 경우
1. 중실축
   
   
   \( Z=\cfrac { \cfrac { \pi { d }^{ 4 } }{ 32 }  }{ \cfrac { 1 }{ 2 } d } =\cfrac { 1 }{ 16 } \pi { d }^{ 4 }\quad \quad ,\quad \quad \tau =\cfrac { T }{ Z_{ p } } =\cfrac { 16M }{ { \pi  }{ d^{ 3 } } } \\ \\ \therefore \quad d=\sqrt [ 3 ]{ \cfrac { 16T }{ \pi \tau  }  }  \)
   
2. 중공축
   
   
   \( Z_{ p }=\cfrac { \cfrac { \pi { ({ d_{ 0 } }^{ 4 } }-{ d_{ 1 } }^{ 4 }) }{ 32 }  }{ \cfrac { 1 }{ 2 } d_{ 0 } } =\cfrac { 1 }{ 16 } \pi { d_{ 0 } }^{ 3 }(1-x^{ 4 })\quad \quad ,\quad \quad \tau=\cfrac { T }{ Z_p } =\cfrac { 16T }{ { \pi  }{ d_{ 0 } }^{ 3 }(1-x^{ 4 }) } \\ \\ \therefore \quad d_{ 0 }=\sqrt [ 3 ]{ \cfrac { 16T }{ { \pi \tau(1-x^{ 4 })}}} \)
3. 굽힘과 비틀림을 동시에 받는 경우(중공축에 대하여)
   
   
   \( \sigma _{ b }=\cfrac { 32M }{ \pi { d_{ o } }^{ 3 }(1-x^{ 4 }) } ,\quad \quad \tau =\cfrac { 16T }{ { \pi  }{ d_{ o } }^{ 3 }(1-x^{ 4 }) } \\ \\ \sigma_{max}=\cfrac{1}{2}\sigma_b+\cfrac{1}{2}\sqrt{{\sigma_b}^2+4{\tau}^2} \quad\quad \\ \\ \)
   
   \(\sigma_{max}\)와\(\quad\tau_{max}\) 에 단면계수\((Z)\)와 극단면계수\((Z_p)\)를 곱하면 상당모멘트 \((M_e)\)와 상당토크\((T_e)\)를 구할 수 있다.
   
   \(M_e=\cfrac{1}{2}M+\sqrt{M^2+T^2}), T_e=\sqrt{M^2+T^2} \)
   
1. 취성재료의 경우
   
   
   \(\cfrac{M_e}{Z}=\sigma_a\)의 조건에서
   
   \(\cfrac{1}{32}{\pi}{d_0}^3(1-x^4)\sigma_a=\cfrac{1}{2}M+\cfrac{1}{2}\sqrt{M^2+T^2} \\ \\ \therefore\quad d_0=\sqrt [ 3 ]{ \cfrac{32}{{\pi}(1-x^4)\sigma_a}(\cfrac{1}{2}M+\sqrt{M^2+T^2})} \)
   
2. 연성재료의 경우
   
   
   \( \cfrac{T_e}{Z_p}=\tau_a \)의 조건에서,
   
   
   \( \cfrac{1}{16}{\pi}{d_0}^3(1-x^4) \quad\quad \therefore\quad d_0=\sqrt[3]{\cfrac{16}{{\pi}(1-x^4)\tau_a}\sqrt{M^2+T^2}} \)
   
3. 취성, 연성 중간에 속하는 재료에 대해서는 각각에 대하여 계산 후, 큰 값을 택한다.
   
4. M, T, P가 동시에 작용하는 경우 ( 웜기어의 축, 선박용 프로펠러의 축 등)
   
   
   \( \tau =\cfrac { 16T }{ \pi { d_{ 0 } }^{ 3 }(1-x^{ 4 }) } ,\quad \quad \quad \sigma =\cfrac { 32M }{ \pi { d_{ o } }^{ 3 }(1-x^{ 4 }) } ,\quad \quad \quad \sigma _{ t }=\cfrac { 4P }{ \pi { d_{ 0 } }^{ 2 }(1-x^{ 2 }) } \quad \quad \cdots \quad (1)\\ \\ \sigma _{ max }=\cfrac { 1 }{ 2 } (\sigma +\sigma _{ t })+\cfrac { 1 }{ 2 } \sqrt { (\sigma +\sigma _{ t })^{ 2 }+4{ \tau  }^{ 2 } } ,\quad \quad \tau _{ max }=\cfrac { 1 }{ 2 } \sqrt{(\sigma+\sigma_t)^2+4{\tau}^2}\cdots\quad(2) \)
   
   
   (2)에 (1)을 대입하고 단면계수(\(Z\))와 극단면계수(\(Z_p\))를 곱하여 정리하면,
   
   
   
   
   \( M_{ e }=\cfrac { 1 }{ 2 } (M+\cfrac { { d_{ 0 } }P(1+{ x }^{ 2 }) }{ 8 } )+\cfrac { 1 }{ 2 } \sqrt { (M+\cfrac { d_{ 0 }{ P }(1+{ x }^{ 2 }) }{ 8 } )^2+T^2 }  \\ \\ T_e=\sqrt{(M+\cfrac{d_0P(1+{x}^2)}{8})^2+T^2} \)
   
1. 취성재료
   
   
   \( \cfrac{\pi}{32}{d_o}^3(1-x^4){\sigma}_a=\cfrac{1}{2}(M+\cfrac{{d_0}P(1+{x}^2)}{8}+\cfrac{1}{2}\sqrt{(M+\cfrac{{d_0}P(1+{x}^2)}{8})^2+{T}^2} \\ \\ \therefore\quad{d_0}=\sqrt[3]{\cfrac{16}{{\pi}(1-{x}^4)\sigma_a}((M+\cfrac{d_0P(1+{x}^2)}{8})+\sqrt{(M+\cfrac{d_0P(1+{x}^2)}{8})^2+{T}^2}} \)
   
2. 연성재료
   
   
   \( T_{ e }=\sqrt { (M+\cfrac { d_{ 0 }P(1+{ x }^{ 2 }) }{ 8 } )^{ 2 }+{ T }^{ 2 } } \\ \\ \therefore \quad { d_{ 0 } }=\sqrt [ 3 ]{ \cfrac { 16 }{ { \pi  }(1-{ x }^{ 4 }){ \tau  }_{ a } } \sqrt { \left(M+\cfrac { d_{ 0 }{ P }(1+{ x }^{ 2 }) }{ 8 } \right)^{ 2 }+{ T }^{ 2 } }  }  \)
   
   
   상기 식의 양변에 모두 \(d_0\)가 들어 있으므로 시행착오법을 이용하여 계산.
   
   (먼저 \(P=0\) 인 조건에서 \(d_{0,1}\)을 구하고 다시 \(d_{0,1})\)을 대입하여 \(d_{0,2}\)를 구한다. 즉, \(d_{0, n-1}=d_{0,n}\)이 될 때까지 계산한다.)
   
3. 동하중을 받는 축의 강도 설계
1. 기계의 축에 작용하는 \(M\)과 \(T\)는 일정하지 않고 복잡하게 변동하던지 또는 충격적으로 작용하는 경우가 많으므로 동적 영향을 고려하여 축을 설계한다.
2. 동적효과 고려시 강도 설계 (연성재로)
   
   
   \(\cfrac{T_e}{Z_p}=\tau_a \)의 조건에서
   
   
   \( \cfrac{1}{16}{\pi}{d_0}^3(1-{x}^4)\tau_a = \sqrt{(k_m M)^2+(k_t T)^2} \quad\quad\therefore\quad{d_0}=\sqrt[3]{\cfrac{16}{{\pi}(1-{x}^4)\tau_a}\sqrt{(k_m M)^2+(k_t T)^2}} \)
3. 동적계수 값(\(k_m\,\quad k_t)\)
   
   
   - 하중과 축의 종류(정지축, 회전축)에 따라 결정되는 값
   - 가벼운 충격하중이나 심한 변동하중이 작용하는 경우
   
        정지축일 때 : \(k_t=1.5-2.0, \quad\quad k_m=1.5-2.0\) 정도
        회전축일 때 : \(k_t=1.0-1.5, \quad\quad k_m=1.5-2.0\) 정도
4. 축하중 작용시 좌굴효과의 고려
   
1. 축이 압축하중을 받는 장축인 경우 좌굴에 대한 고려 필요
2. 좌굴계수
   
   
   \(L : \quad 베어링\quad spam,\quad \quad k;\quad radius\quad of\quad gyration\quad \left( k^{ 2 }=\cfrac { I }{ A }  \right) \\ \\ \sigma :{ \quad 압축 항복응력 },\quad \quad E:\quad 세로탄성계수,\quad \lambda ;\quad 세장비\quad \left( \cfrac { L }{ k }  \right) \\ \\ s;\quad 축의\quad 받침계수\quad (볼베어링:s=1,\quad 슬라이딩\quad 베어링:s=2.25,\quad 고정지지:s=4)\\ \\ -\lambda < 100\quad 일\quad 때\quad :\quad \eta =\left( \cfrac { 1 }{ 1-0.04\left( \cfrac { l }{ k } \sqrt { s }  \right)  }  \right) \\ \\ -\lambda \ge 100\quad 일\quad 때\quad :\quad \eta =\cfrac { \sigma _{ y }A }{ P_{ cr } } =\cfrac { \sigma _{ y }A }{ \cfrac { n^{ 2 }{ \pi  }^{ 2 }EI }{ L^{ 2 } }  } =\cfrac { \sigma _{ y }\left( \cfrac { L }{ k }  \right) ^{ 2 } }{ n^{ 2 }\pi ^{ 2 }E } =\cfrac { \sigma _{ y }\left( \cfrac { L }{ k }  \right) ^{ 2 } }{ s{ \pi  }^{ 2 }E } \)